Determinante de una matriz

Calcular el determinante de la matriz A definida como:

    ┌               ┐
    │  5   0   1  4 │
    │ -2   0  -3  2 │
A = │  2   0   0  2 │
    │ -2  -1  -1  2 │
    └               ┘

¿Cómo resolver este problema?

El determinante puede ser calculado multiplicando los elementos de cualquier fila (o columna) por sus respectivos cofactores y sumando los productos resultantes, donde el cofactor asociado al elemento que se encuentra en la i-ésima fila y j-ésima columna, se define como el determinante de la submatriz que resulta al suprimir la fila i y la columna j de la matriz, cambiando el signo si i + j es impar. De la definición anterior puede deducirse que el cálculo de los cofactores involucra el cálculo de determinantes de orden inferior. Usando este método recursivamente, conjuntamente con las fórmulas para los determinantes de orden 2 y 3, se tiene un método para calcular el determinante de una matriz. En la práctica, cuando se calcula el determinante utilizando los cofactores, se selecciona la fila o columna con la mayor cantidad de ceros, ya que no es necesario calcular los cofactores asociados a los elementos iguales a cero. Cuando una matriz es triangular, su determinante es el producto de los elementos de la diagonal principal de la matriz.

Paso 1: Utilizar la cofactores de la fila o columna con la mayor cantidad de ceros, ya que reduce el volumen de los cálculos, pues los cofactores asociados a los elementos con valor cero no tienen que ser calculados. Los determinantes de orden 3 se calculan mediante la fórmula: |A| = a11 a22 a33 + a12 a23 a 31 + a13 a21 a32 - a13 a22 a31 - a12 a21 a33 - a11 a23 a32.

│  5   0   1  4 │
│ -2   0  -3  2 │        │  5   1  4 │
│  2   0   0  2 │ =  - 1•│ -2  -3  2 │
│ -2  -1  -1  2 │        │  2   0  2 │

        │  5   1  4 │
        │ -2  -3  2 │ = 5•(-3)•2 + 1•2•2 + (-2)•0•4 - 4•(-3)•2 - 1•(-2)•2 - 2•0•5 = 2
        │  2   0  2 │

│  5   0   1  4 │
│ -2   0  -3  2 │
│  2   0   0  2 │ =  - 1•2 = -2
│ -2  -1  -1  2 │

Paso 2: Solución final.

|A| = -2