Diagonalización

Determinar si la aplicación lineal f es diagonalizable, en caso afirmativo encontrar la base y la forma diagonal.

f(x, y, z) = (-x+2y+4z; -2x+4y+2z; -4x+2y+7z)

¿Cómo resolver este problema?

Una aplicación lineal f de un espacio vectorial finito es diagonalizable, si existe una base B del espacio vectorial tal que la matriz de la aplicación lineal relativa a B es una matriz diagonal. Esta base B existe si la suma de todas las dimensiones de los subespacios propios de f es igual a la dimensión del espacio vectorial. Una condición necesaria, que puede comprobarse antes de encontrar los subespacios propios, es que todas las raíces del polinomio característico pertenezcan a R (el campo que se utiliza en este programa). La base B se conforma con las bases de los subespacios propios, y la matriz diagonal se conforma con los valores propios repetidos tantas veces como su multiplicidad como raíz del polinomio característico.

Paso 1: Escribir la matriz de la aplicación lineal f. Llamémosle A.

    ┌          ┐
    │ -1  2  4 │
A = │ -2  4  2 │
    │ -4  2  7 │
    └          ┘

Paso 2: Hallar el polinomio característico.

Escribir la fórmula de la ecuación característica.

Q(λ)= det(A - λI)

Sustituir la matriz en la fórmula.

           ┌          ┐    ┌         ┐
           │ -1  2  4 │    │ 1  0  0 │
Q(λ)= det( │ -2  4  2 │ - λ│ 0  1  0 │ )
           │ -4  2  7 │    │ 0  0  1 │
           └          ┘    └         ┘

Multiplicar y restar.

           ┌                ┐
           │ -1-λ   2    4  │
Q(λ)= det( │  -2   4-λ   2  │ )
           │  -4    2   7-λ │
           └                ┘

Calcular el determinante.

Q(λ) = - λ3 + 10 λ2 - 33 λ + 36

Descomponer el polinomio.

Q(λ)= (λ - 3)(λ - 3)(λ - 4)

Paso 3: Los valores propios son las raíces del polinomio.

λ1 = 3
λ2 = 4

Paso 4: Para cada valor propio hallar el espacio nulo de la matriz A - λ•I

La expresión es igual a la matriz A, restando el valor propio a los elementos de la diagonal principal, el cual es un sistema de ecuaciones lineales homogéneo donde la matriz ampliada es la siguiente:

┌                     ┐
│ -1-λ   2    4  |  0 │
│  -2   4-λ   2  |  0 │
│  -4    2   7-λ |  0 │
└                     ┘

Para λ1 = 3

┌               ┐
│ -4  2  4 |  0 │
│ -2  1  2 |  0 │
│ -4  2  4 |  0 │
└               ┘

Escalonar la matriz utilizando transformaciones elementales por filas.

f1 <———> f2
┌               ┐
│ -2  1  2 |  0 │
│ -4  2  4 |  0 │
│ -4  2  4 |  0 │
└               ┘
f2 <———> f2 - 2•f1
f3 <———> f3 - 2•f1
┌               ┐
│ -2  1  2 |  0 │
│  0  0  0 |  0 │
│  0  0  0 |  0 │
└               ┘

Traducir la matriz escalonada al sistema de ecuaciones lineales asociado, eliminando las ecuaciones nulas.

-2x+y+2z = 0

Las ecuaciones resultantes son las ecuaciones implícitas del espacio propio asociado al valor propio.

E1 =  {(x, y, z)∈ R3 | -2x+y+2z = 0 }

Hallar una base.

Seleccionar las variables libres.

{ y, z }

Sustitución hacia atrás.

-2x+y+2z = 0
x = (y+2z)/2

Representación paramétrica.

E1 =  {((y+2z)/2 ; y ; z) | y, z ∈ R }

Para cada variable libre, dar el valor 1 a esa variable y 0 a las otras, obteniendo un vector del subespacio propio. El conjunto de vectores que se obtiene es una base del subespacio propio.

Base(E1) = {(2  0  2); (1  2  0)}

dim(E1) = 2

Para λ2 = 4

┌               ┐
│ -5  2  4 |  0 │
│ -2  0  2 |  0 │
│ -4  2  3 |  0 │
└               ┘

Escalonar la matriz utilizando transformaciones elementales por filas.

f1 <———> f2
┌               ┐
│ -2  0  2 |  0 │
│ -5  2  4 |  0 │
│ -4  2  3 |  0 │
└               ┘
f2 <———> -2•f2
┌                 ┐
│ -2   0   2 |  0 │
│ 10  -4  -8 |  0 │
│ -4   2   3 |  0 │
└                 ┘
f2 <———> f2 + 5•f1
f3 <———> f3 - 2•f1
┌                 ┐
│ -2   0   2 |  0 │
│  0  -4   2 |  0 │
│  0   2  -1 |  0 │
└                 ┘
f2 <———> f3
┌                 ┐
│ -2   0   2 |  0 │
│  0   2  -1 |  0 │
│  0  -4   2 |  0 │
└                 ┘
f3 <———> f3 + 2•f2
┌                ┐
│ -2  0   2 |  0 │
│  0  2  -1 |  0 │
│  0  0   0 |  0 │
└                ┘

Traducir la matriz escalonada al sistema de ecuaciones lineales asociado, eliminando las ecuaciones nulas.

-2x+2z = 0
2y-z = 0

Las ecuaciones resultantes son las ecuaciones implícitas del espacio propio asociado al valor propio.

E2 =  {(x, y, z)∈ R3 | -2x+2z = 0; 2y-z = 0 }

Hallar una base.

Seleccionar las variables libres.

{ z }

Sustitución hacia atrás.

2y-z = 0
y = z/2

-2x+2z = 0
x = 2z/2
x = z

Representación paramétrica.

E2 =  {(z ; z/2 ; z) | z ∈ R }

Para cada variable libre, dar el valor 1 a esa variable y 0 a las otras, obteniendo un vector del subespacio propio. El conjunto de vectores que se obtiene es una base del subespacio propio.

Base(E2) = {(2  1  2)}

dim(E2) = 1

Paso 5: Solución Final.

La aplicación lineal es diagonalizable.

La base B tal que la matriz de la aplicación lineal relativa a B es una matriz diagonal (formada con las bases de subespacios propios).

B = {(2  0  2); (1  2  0); (2  1  2)}

La matriz diagonal asociada a la aplicación lineal relativa a la base B (los valores de la diagonal son los valores propios. Debe existir una correspondencia entre la ubicación de los valores propios en la matriz diagonal y los vectores del subespacio propio asociado en matriz de la base).

             ┌         ┐
             │ 3  0  0 │
M[B->B](f) = │ 0  3  0 │
             │ 0  0  4 │
             └         ┘