Invertir una matriz

Calcular la inversa de la matriz cuadrada A utilizando transformaciones elementales por filas.

    ┌          ┐
    │ 2  -1  3 │
A = │ 1  -1  1 │
    │ 4  -5  2 │
    └          ┘

¿Cómo resolver este problema?

Para calcular la inversa de la matriz A mediante transformaciones elementales por filas, coloque la matriz unitaria del mismo orden a la derecha de la matriz A. Realice operaciones elementales por filas a ambas matrices hasta convertir la matriz A en la matriz unitaria. El procedimiento más conveniente es utilizar los elementos de la diagonal principal, convirtiendo en cero todos los elementos por encima y debajo de los mismos, utilizando transformaciones elementales de tercer tipo por filas. Luego utilice transformaciones elementales de segundo tipo para convertir los elementos de la diagonal principal en 1, multiplicando la fila en que se encuentran por el inverso de su valor. Si uno de los elementos de la diagonal principal se convierte en cero, detenga el proceso.

Paso 1: Colocar la matriz Identidad a la derecha de la matriz A.

┌                    ┐
│ 2  -1  3 | 1  0  0 │
│ 1  -1  1 | 0  1  0 │
│ 4  -5  2 | 0  0  1 │
└                    ┘

Paso 2: Escalonar la matriz A utilizando transformaciones elementales filas. Realizar simultáneamente, las mismas trasformaciones elementales a la matriz Identidad.

f1 <———> f2
┌                    ┐
│ 1  -1  1 | 0  1  0 │
│ 2  -1  3 | 1  0  0 │
│ 4  -5  2 | 0  0  1 │
└                    ┘
f2 <———> f2 - 2•f1
f3 <———> f3 - 4•f1
┌                      ┐
│ 1  -1   1 | 0   1  0 │
│ 0   1   1 | 1  -2  0 │
│ 0  -1  -2 | 0  -4  1 │
└                      ┘
f3 <———> f3 + f2
┌                      ┐
│ 1  -1   1 | 0   1  0 │
│ 0   1   1 | 1  -2  0 │
│ 0   0  -1 | 1  -6  1 │
└                      ┘

Paso 3: Hacer ceros todos los elementos por encima de la diagonal principal utilizando los elementos de la diagonal principal, comenzando por el elemento de la esquina inferior derecha.

f2 <———> f2 + f3
f1 <———> f1 + f3
┌                      ┐
│ 1  -1   0 | 1  -5  1 │
│ 0   1   0 | 2  -8  1 │
│ 0   0  -1 | 1  -6  1 │
└                      ┘
f1 <———> f1 + f2
┌                      ┐
│ 1  0   0 | 3  -13  2 │
│ 0  1   0 | 2   -8  1 │
│ 0  0  -1 | 1   -6  1 │
└                      ┘

Paso 4: Dividir cada fila por el elemento correspondiente en la diagonal principal.

f3 <———> -f3
┌                        ┐
│  1  0  0 |  3  -13   2 │
│  0  1  0 |  2   -8   1 │
│  0  0  1 | -1    6  -1 │
└                        ┘

Paso 5: La inversa es la matriz resultante en el lado derecho.

         ┌             ┐
         │  3  -13   2 │
Inv(A) = │  2   -8   1 │
         │ -1    6  -1 │
         └             ┘