Matriz de cambio de base

Calcular la matriz de cambio de base de la base A a la base B.

A = {(-1  0  -1); (-4  8  2); (1  -3  -1)}

B = {(0  1  -1); (-1  1  0); (6  -4  -1)}

¿Cómo resolver este problema?

La matriz de cambio de base (o matriz de transición) C[A->B] de la base de la A a la base B, se puede calcular transponiendo la matriz de los coeficientes cuando se expresan los vectores de A como combinación lineal de los vectores de B. Otra manera, la que será utilizada, es multiplicando la inversa de la matriz de la base B por la matriz de la base A, donde la matriz de una base es la matriz cuyas columnas son los vectores de la base. Las matrices de una base siempre son invertibles, debido a su rango coincide con su orden. Este método de cálculo se basa en la siguiente fórmula: C[A->B] = C[N->B]•C[A->N] donde N es la base canónica, y C[N->B] = inv(C[B->N]). La matriz de cambio de base de cualquier base B a la base canónica N es igual a la matriz de la base B.

Paso 1: Escribir la matriz de cambio de base de la base B a la base canónica N (Es la matriz de la base B).

          ┌            ┐
          │  0  -1   6 │
C[B->N] = │  1   1  -4 │
          │ -1   0  -1 │
          └            ┘

Paso 2: Invertir la matriz C[B->N].

│  0  -1   6 │
│  1   1  -4 │ = 0•1•(-1) + (-1)•(-4)•(-1) + 1•0•6 - 6•1•(-1) - (-1)•1•(-1) - (-4)•0•0 = 1
│ -1   0  -1 │

               ┌          ┐
               │ -1  5  1 │
Cof(C[B->N]) = │ -1  6  1 │
               │ -2  6  1 │
               └          ┘
               ┌            ┐
               │ -1  -1  -2 │
Adj(C[B->N]) = │  5   6   6 │
               │  1   1   1 │
               └            ┘
                         ┌            ┐
                         │ -1  -1  -2 │
Inv(C[B->N]) = C[N->B] = │  5   6   6 │
                         │  1   1   1 │
                         └            ┘

Paso 3: Escribir la matriz de cambio de base de la base A a la base canónica N (Es la matriz de la base A).

          ┌            ┐
          │ -1  -4   1 │
C[A->N] = │  0   8  -3 │
          │ -1   2  -1 │
          └            ┘

Paso 4: Multiplicar las matrices C[N->B] y C[A->N].

C[A->B]11 = (-1)•(-1) + (-1)•0 + (-2)•(-1) = 3
C[A->B]12 = (-1)•(-4) + (-1)•8 + (-2)•2 = -8
C[A->B]13 = (-1)•1 + (-1)•(-3) + (-2)•(-1) = 4

C[A->B]21 = 5•(-1) + 6•0 + 6•(-1) = -11
C[A->B]22 = 5•(-4) + 6•8 + 6•2 = 40
C[A->B]23 = 5•1 + 6•(-3) + 6•(-1) = -19

C[A->B]31 = 1•(-1) + 1•0 + 1•(-1) = -2
C[A->B]32 = 1•(-4) + 1•8 + 1•2 = 6
C[A->B]33 = 1•1 + 1•(-3) + 1•(-1) = -3
          ┌              ┐
          │   3  -8    4 │
C[A->B] = │ -11  40  -19 │
          │  -2   6   -3 │
          └              ┘