Núcleo de una aplicación lineal

Hallar una base y la representación paramétrica del núcleo de la aplicación lineal f.

f(x, y, z, w) = (y+2z-w; 2x+8y+2z-6w; 2x+7y-5w)

¿Cómo resolver este problema?

El núcleo de una aplicación lineal es el conjunto de todos los vectores del espacio de entrada que se transforman por la aplicación lineal en el vector nulo del espacio de salida. Para calcular el núcleo, halle el espacio nulo de la matriz de la aplicación lineal, que es lo mismo que encontrar el subespacio vectorial cuyas ecuaciones implícitas son las ecuaciones homogéneas obtenidas cuando los componentes de la fórmula de la aplicación lineal son igualados a cero.

Paso 1: Sistema de ecuaciones lineales asociado a las ecuaciones implícitas del núcleo, obtenido al igualar a cero los componentes de la fórmula de la aplicación lineal.

y+2z-w = 0
2x+8y+2z-6w = 0
2x+7y-5w = 0

Paso 2: Representar el sistema de ecuaciones lineales en forma matricial.

┌                  ┐
│ 0  1  2  -1 |  0 │
│ 2  8  2  -6 |  0 │
│ 2  7  0  -5 |  0 │
└                  ┘

Paso 3: Escalonar la matriz ampliada utilizando transformaciones elementales por filas.

f1 <———> f3
┌                  ┐
│ 2  7  0  -5 |  0 │
│ 2  8  2  -6 |  0 │
│ 0  1  2  -1 |  0 │
└                  ┘
f2 <———> f2 - f1
┌                  ┐
│ 2  7  0  -5 |  0 │
│ 0  1  2  -1 |  0 │
│ 0  1  2  -1 |  0 │
└                  ┘
f3 <———> f3 - f2
┌                  ┐
│ 2  7  0  -5 |  0 │
│ 0  1  2  -1 |  0 │
│ 0  0  0   0 |  0 │
└                  ┘

Paso 4: Traducir la matriz escalonada al sistema de ecuaciones lineales asociado, eliminando las ecuaciones nulas.

2x+7y-5w = 0
y+2z-w = 0

Paso 5: Solución.

Las ecuaciones implícitas del núcleo son las ecuaciones obtenidas en el paso anterior.

Ker(f) =  {(x, y, z, w)∈ R4 | 2x+7y-5w = 0; y+2z-w = 0 }

Paso 6: Hallar la representación paramétrica del núcleo, y una base.

Seleccionar las variables libres.

{ z, w }

Sustitución hacia atrás.

y+2z-w = 0
y = -2z+w

2x+7y-5w = 0
x = (-7y+5w)/2
x = (-7•(-2z+w)+5w)/2
x = 7z-w

Representación paramétrica.

Ker(f) =  {(7z-w ; -2z+w ; z ; w) | z, w ∈ R }

Para cada variable libre, dar el valor 1 a esa variable y 0 a las otras, obteniendo un vector del núcleo. El conjunto de vectores que se obtiene es una base del núcleo.

Base(Ker(f)) = {(-1  1  0  1); (7  -2  1  0)}