7y+z-2w = 5 -4x-4y-z+w = -6 4x+7y+z-2w = 9 4x+5y+2z-w = 5
Representar el sistema de ecuaciones lineales en forma matricial, donde cada fila corresponde a una ecuación, y cada columna a una variable, y los elementos de la matriz se compone de los coeficientes de las variables (esta matriz se llama matriz del sistema o matriz de coeficientes). Agregar una columna al final de la matriz del sistema compuesta por los términos constantes (esta nueva matriz se llama matriz ampliada). Escalonar la matriz ampliada. Si tiene solución, traducir la matriz resultante en el sistema de ecuaciones lineales asociado, y utilizar el método de sustitución hacia atrás para encontrar la solución del sistema anterior.
┌ ┐ │ 0 7 1 -2 | 5 │ │ -4 -4 -1 1 | -6 │ A = │ 4 7 1 -2 | 9 │ │ 4 5 2 -1 | 5 │ └ ┘
f1 <———> f4 ┌ ┐ │ 4 5 2 -1 | 5 │ │ -4 -4 -1 1 | -6 │ │ 4 7 1 -2 | 9 │ │ 0 7 1 -2 | 5 │ └ ┘ f2 <———> f2 + f1 f3 <———> f3 - f1 ┌ ┐ │ 4 5 2 -1 | 5 │ │ 0 1 1 0 | -1 │ │ 0 2 -1 -1 | 4 │ │ 0 7 1 -2 | 5 │ └ ┘ f3 <———> f3 - 2•f2 f4 <———> f4 - 7•f2 ┌ ┐ │ 4 5 2 -1 | 5 │ │ 0 1 1 0 | -1 │ │ 0 0 -3 -1 | 6 │ │ 0 0 -6 -2 | 12 │ └ ┘ f4 <———> f4 - 2•f3 ┌ ┐ │ 4 5 2 -1 | 5 │ │ 0 1 1 0 | -1 │ │ 0 0 -3 -1 | 6 │ │ 0 0 0 0 | 0 │ └ ┘
Los rangos de las matrices son iguales, pero menores que el número de variables. Hay infinitas soluciones (el sistema es compatible indeterminado).
4x+5y+2z-w = 5 y+z = -1 -3z-w = 6
{ w }
-3z-w = 6 z = (-6-w)/3 y+z = -1 y = -1-z y = -1-((-6-w)/3) y = (3+w)/3 4x+5y+2z-w = 5 x = (5-5y-2z+w)/4 x = (5-5•((3+w)/3)-2•((-6-w)/3)+w)/4 x = 1
S = { (1 ; (3+w)/3 ; (-6-w)/3 ; w) | w ∈ R } S = { (1 ; 1+0.3333w ; -2-0.3333w ; w) | w ∈ R }