Subespacio vectorial generado

Buscar el subespacio vectorial E generado por el conjunto de vectores V.

V = {(-2  -4  2  -4); (-1  2  0  1); (1  6  -2  5)}

¿Cómo resolver este problema?

El subespacio generado por un conjunto de vectores V es el conjunto de todas las posibles combinaciones lineales de los vectores de V. Se utilizará la notación [V] para indicar el subespacio generado por los vectores de V. En la práctica, el problema de determinar las ecuaciones implícitas del subespacio generado por V, es equivalente a determinar cuándo el sistema de ecuaciones lineales que tiene como matriz del sistema los vectores de V como columnas, y un vector genérico del espacio especificado por medio de variables como el vector utilizado para componer la matriz ampliada, tiene solución. Para resolver este problema simplemente escalone la matriz ampliada. El rango de la matriz del sistema debe ser igual al rango de la matriz ampliada, por lo tanto, los elementos en la columna del extremo derecho (que son ecuaciones) asociados a las filas nulas en la matriz del sistema deben ser cero.

Paso 1: Escribir la matriz ampliada asociada al sistema de ecuaciones lineales donde la matriz del sistema está compuesta por los vectores de V como columnas, y un vector genérico del espacio vectorial, especificado por medio de variables, como la columna adicional para conformar la matriz ampliada.

┌                ┐
│ -2  -1   1 | x │
│ -4   2   6 | y │
│  2   0  -2 | z │
│ -4   1   5 | w │
└                ┘

Paso 2: Escalonar la matriz ampliada utilizando transformaciones elementales por filas, teniendo en cuenta la última columna conformada por expresiones que dependen de las variables.

f2 <———> f2 - 2•f1
f3 <———> f3 + f1
f4 <———> f4 - 2•f1
┌                    ┐
│ -2  -1   1 | x     │
│  0   4   4 | -2x+y │
│  0  -1  -1 | x+z   │
│  0   3   3 | -2x+w │
└                    ┘
f2 <———> f3
┌                    ┐
│ -2  -1   1 | x     │
│  0  -1  -1 | x+z   │
│  0   4   4 | -2x+y │
│  0   3   3 | -2x+w │
└                    ┘
f3 <———> f3 + 4•f2
f4 <———> f4 + 3•f2
┌                      ┐
│ -2  -1   1 | x       │
│  0  -1  -1 | x+z     │
│  0   0   0 | 2x+y+4z │
│  0   0   0 | x+3z+w  │
└                      ┘

Paso 3: Para que el sistema tenga solución es necesario que los elementos de la última columna, correspondiente a filas nulas en la matriz del sistema, sean cero (rangos iguales). Las ecuaciones definidas por esas expresiones, son las ecuaciones implícitas del subespacio vectorial generado por el conjunto de vectores.

E = [V] =  {(x, y, z, w)∈ R4 | 2x+y+4z = 0; x+3z+w = 0 }

Representación paramétrica del subespacio.

Buscar el sistema de ecuaciones implícitas equivalente escalonando la matriz utilizando transformaciones elementales por filas.

┌                 ┐
│ 2  1  4  0 |  0 │
│ 1  0  3  1 |  0 │
└                 ┘
f1 <———> f2
┌                 ┐
│ 1  0  3  1 |  0 │
│ 2  1  4  0 |  0 │
└                 ┘
f2 <———> f2 - 2•f1
┌                   ┐
│ 1  0   3   1 |  0 │
│ 0  1  -2  -2 |  0 │
└                   ┘

Sistema de ecuaciones implícitas equivalente.

x+3z+w = 0
y-2z-2w = 0

Variables libres.

{ z, w }

Sustitución hacia atrás.

y-2z-2w = 0
y = 2z+2w

x+3z+w = 0
x = -3z-w

Representación paramétrica.

E = [V] =  { (-3z-w ; 2z+2w ; z ; w) | z, w ∈ R }