Subespacios iguales

Determinar si los subespacios generados por los conjuntos de vectores V y U son iguales.

V = {(2  3  -2  -2); (0  4  8  0); (1  3  3  0); (-4  -1  12  2)}

U = {(1  3  3  0); (0  3  8  2); (-1  1  5  0)}

¿Cómo resolver este problema?

Este problema puede resolverse utilizando diferentes vías, pero generalmente bajo la premisa de que las dimensiones de los dos subespacios son iguales. Una vez que esto ha sido comprobado, una manera práctica es demostrar que los vectores de un sistema generador del primer subespacio pertenecen al segundo subespacio. Otra vía es demostrar que la suma o la intersección de ambos subespacios, tiene la misma dimensión que los subespacios. Se utilizará la segunda vía, calculando la dimensión de la suma de los subespacios, ya que se tienen conjuntos generadores de ambos subespacios.

Paso 1: Calcular la dimensión del subespacio generado por el conjunto de vectores V.

Escribir la matriz formada por los vectores de V como columnas.

┌              ┐
│  2  0  1  -4 │
│  3  4  3  -1 │
│ -2  8  3  12 │
│ -2  0  0   2 │
└              ┘

Escalonar la matriz utilizando transformaciones elementales por filas.

f2 <———> 2•f2
┌              ┐
│  2  0  1  -4 │
│  6  8  6  -2 │
│ -2  8  3  12 │
│ -2  0  0   2 │
└              ┘
f2 <———> f2 - 3•f1
f3 <———> f3 + f1
f4 <———> f4 + f1
┌             ┐
│ 2  0  1  -4 │
│ 0  8  3  10 │
│ 0  8  4   8 │
│ 0  0  1  -2 │
└             ┘
f3 <———> f3 - f2
┌             ┐
│ 2  0  1  -4 │
│ 0  8  3  10 │
│ 0  0  1  -2 │
│ 0  0  1  -2 │
└             ┘
f4 <———> f4 - f3
┌             ┐
│ 2  0  1  -4 │
│ 0  8  3  10 │
│ 0  0  1  -2 │
│ 0  0  0   0 │
└             ┘

La dimensión del subespacio generado por el conjunto de vectores V es el rango de la matriz.

dim([V]) = 3

Paso 2: Calcular la dimensión del subespacio generado por el conjunto de vectores U.

Escribir la matriz formada por los vectores de U como columnas.

┌          ┐
│ 1  0  -1 │
│ 3  3   1 │
│ 3  8   5 │
│ 0  2   0 │
└          ┘

Escalonar la matriz utilizando transformaciones elementales por filas.

f2 <———> f2 - 3•f1
f3 <———> f3 - 3•f1
┌          ┐
│ 1  0  -1 │
│ 0  3   4 │
│ 0  8   8 │
│ 0  2   0 │
└          ┘
f2 <———> f4
┌          ┐
│ 1  0  -1 │
│ 0  2   0 │
│ 0  8   8 │
│ 0  3   4 │
└          ┘
f4 <———> 2•f4
┌          ┐
│ 1  0  -1 │
│ 0  2   0 │
│ 0  8   8 │
│ 0  6   8 │
└          ┘
f3 <———> f3 - 4•f2
f4 <———> f4 - 3•f2
┌          ┐
│ 1  0  -1 │
│ 0  2   0 │
│ 0  0   8 │
│ 0  0   8 │
└          ┘
f4 <———> f4 - f3
┌          ┐
│ 1  0  -1 │
│ 0  2   0 │
│ 0  0   8 │
│ 0  0   0 │
└          ┘

La dimensión del subespacio generado por el conjunto de vectores V es el rango de la matriz.

dim([U]) = 3

Paso 3: Calcular la dimensión del subespacio generado por los vectores de ambos conjuntos: V y U.

Escribir la matriz formada por los vectores de V y U como columnas.

┌                        ┐
│  2  0  1  -4  1  0  -1 │
│  3  4  3  -1  3  3   1 │
│ -2  8  3  12  3  8   5 │
│ -2  0  0   2  0  2   0 │
└                        ┘

Escalonar la matriz utilizando transformaciones elementales por filas.

f2 <———> 2•f2
┌                        ┐
│  2  0  1  -4  1  0  -1 │
│  6  8  6  -2  6  6   2 │
│ -2  8  3  12  3  8   5 │
│ -2  0  0   2  0  2   0 │
└                        ┘
f2 <———> f2 - 3•f1
f3 <———> f3 + f1
f4 <———> f4 + f1
┌                       ┐
│ 2  0  1  -4  1  0  -1 │
│ 0  8  3  10  3  6   5 │
│ 0  8  4   8  4  8   4 │
│ 0  0  1  -2  1  2  -1 │
└                       ┘
f3 <———> f3 - f2
┌                       ┐
│ 2  0  1  -4  1  0  -1 │
│ 0  8  3  10  3  6   5 │
│ 0  0  1  -2  1  2  -1 │
│ 0  0  1  -2  1  2  -1 │
└                       ┘
f4 <———> f4 - f3
┌                       ┐
│ 2  0  1  -4  1  0  -1 │
│ 0  8  3  10  3  6   5 │
│ 0  0  1  -2  1  2  -1 │
│ 0  0  0   0  0  0   0 │
└                       ┘

La dimensión del subespacio [V] + [U], donde [V] y [U] son los subespacios generados por V y U respectivamente, es el rango de la matriz.

dim([V] + [U]) = 3

Paso 4: Solución.

El subespacio generado por V y el subespacio generado por U son iguales, porque sus dimensiones son iguales, e iguales también a la dimensión del subespacio suma.