El problema de la semana - Clasifica el sistema de ecuaciones lineales

Los sistemas de ecuaciones lineales se encuentran en el corazón del álgebra lineal y se utilizan para resolver problemas prácticos en muchos campos de estudio, como la biología, economía y electrónica, por solo citar algunos ejemplos, donde la solución a varios problemas se reduce en resolver un sistema de ecuaciones lineales.

Esta semana, el problema está relacionado con este tema, donde debes demostrar que entiendes los conceptos básicos cuando buscas la solución de un sistema de ecuaciones lineales.

Dado el siguiente sistema de ecuaciones lineales:

-2x +  y +  z = -1
 6x - 2y - 4z = 2a
-5x + 2y + az = -4

¿Qué valores de 'a' conducen a cada una de las siguientes posibilidades?

1. El sistema es incompatible

2. El sistema es compatible indeterminado

3. El sistema es compatible determinado

Este problema puede ser resuelto usando diferentes métodos, pero aquí utilizaré eliminación gaussiana sobre la matriz ampliada.

La matriz ampliada asociada al sistema es:

┌                  ┐
│ -2   1   1 |  -1 │
│  6  -2  -4 |  2a │
│ -5   2   a |  -4 │
└                  ┘

Escalonemos la matriz ampliada utilizando transformaciones elementales por fila.

f3 <———> -2•f3
┌                   ┐
│ -2   1    1 |  -1 │
│  6  -2   -4 |  2a │
│ 10  -4  -2a |   8 │
└                   ┘
f2 <———> f2 + 3•f1
f3 <———> f3 + 5•f1
┌                      ┐
│ -2  1      1 |    -1 │
│  0  1     -1 |  2a-3 │
│  0  1  -2a+5 |     3 │
└                      ┘
f3 <———> f3 - f2
┌                       ┐
│ -2  1      1 |     -1 │
│  0  1     -1 |   2a-3 │
│  0  0  -2a+6 |  -2a+6 │
└                       ┘

El sistema de ecuaciones lineales es compatible si y solo si, el rango de la matriz del sistema es igual al de la matriz ampliada.

El rango de la matriz del sistema puede ser igual a 2 o 3, dependiendo de la expresión -2a+6. Cuando esta expresión es cero el rango es igual a 2, de lo contrario es igual a 3.

La expresión es igual a 0 cuando a=3, pero note que para este valor el rango de la matriz ampliada también es igual a 2, por lo que el sistema siempre es compatible.

Así que:

1 - Ninguno de los valores de 'a' da como resultado un sistema de ecuaciones lineales incompatible.

2 - Cuando a=3, el rango es igual a 2 y el sistema es compatible indeterminado (el rango es menor que el número de incógnitas)

3 - Cuando a<>3, el rango es igual a 3 y el sistema es compatible determinado (el rango es igual al número de incógnitas)