¿Cómo generar matrices invertibles con Linear Algebra Decoded?

Una de las grandes potencialidades de Linear Algebra Decoded es la posibilidad de generar problemas donde los coeficientes se encuentren en el dominio de los números enteros, y cuya solución cumpla con ciertas restricciones impuestas, de manera que permita a los estudiantes generar problemas para que puedan probar diferentes escenarios, y de igual forma permita a los profesores generar problemas que sean convenientes para usar en exámenes. En este artículo se explicará cómo utilizar Linear Algebra Decoded para generar matrices invertibles con coeficientes enteros donde la matriz inversa también tiene coeficientes enteros.

Encontrar una matriz cuadrada invertible con coeficientes enteros es sumamente fácil, solo basta que sus columnas sean linealmente independientes, lo cual se cumplirá en la mayoría de los casos que seleccionemos valores por azar; pero si queremos encontrar una matriz con coeficientes enteros cuya inversa también tenga coeficientes enteros, ya no resulta tan fácil, pues tenemos que garantizar que el determinante de la matriz sea un divisor de todos los coeficientes de la matriz adjunta. Note que siempre podemos garantizar que la inversa tenga coeficientes enteros, independientemente de cuál sea la matriz adjunta, si logramos que el determinante de la matriz original sea 1 o -1.

Cuando utilizamos Linear Algebra Decoded y usamos la opción para generar una matriz con el objetivo de calcular su determinante, el programa permite especificar el valor que queremos tenga el determinante de la matriz que generará, usando 1 como valor por defecto. Sin importar el tamaño de la matriz, el programa retornará una matriz cuyo determinante coincide con el valor especificado, e intentando cumplir además que el valor modular de los coeficientes de la matriz sea menor que el valor definido en la ventana de configuración del programa.

Cuando se solicita generar una matriz para calcular su inversa, el programa generará una matriz con coeficientes enteros cuyo determinante sea 1 o -1, que como vimos anteriormente garantizará que la inversa sea también una matriz con coeficientes enteros.

Cuando el problema solo radica en el cálculo de la inversa y se utiliza el método de la matriz adjunta, la complejidad de los cálculos que deben realizarse no se ve afectada por el hecho de que el determinante no sea un divisor de todos los coeficientes de la matriz adjunta, pues la división solo se emplea en el último paso del proceso. Pero si el cálculo de la inversa es solo un paso de un problema más complejo donde este resultado se empleará en otros cálculos, o se desea utilizar el método de las transformaciones elementales para calcular la inversa, y el módulo del determinante no es 1, esto pudiera traer consigo que se necesite realizar operaciones con números fraccionarios, lo cual normalmente se escapa del objetivo que persiguen las pruebas de Álgebra Lineal. Por tal motivo las matrices con determinante igual a 1 o -1 son adecuadas para utilizar en exámenes, pues existen muchos problemas que requieren como paso intermedio calcular la inversa de una matriz.

Hoy hemos comentado solo uno de los ejemplos más sencillos del uso de la herramienta de generación de problemas, que el programa Linear Algebra Decoded pone a tu disposición. Descarga la versión demo de forma gratuita y prueba esta valiosa funcionalidad, aunque para otros problemas más complejos necesitarás comprar la versión completa.

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