El problema de la semana - ¿Es el sistema generador una base?

Los espacios vectoriales son uno de los temas claves del álgebra lineal, y su teoría tiene gran aplicación en las matemáticas, la ingeniería, la física, la química, la biología, las ciencias sociales y muchas otras áreas. La teoría consiste, básicamente, en generalizar las ideas sobre los vectores geométricos del cálculo, a vectores de cualquier tamaño; pero proporciona una manera abstracta y sin necesidad de usar ejes de coordenadas, para tratar objetos geométricos y físicos, como los tensores. La belleza de la teoría de los espacios vectoriales se puede apreciar en cada problema, donde muchos de ellos son simplemente una traducción algebraica lineal de problemas muy conocidos como la resolución de sistemas de ecuaciones lineales.

El problema de esta semana está relacionado con los sistemas generadores y las bases, dos conceptos esenciales de los espacios vectoriales que debes dominar. La solución, como es habitual en la mayoría de los problemas de álgebra lineal, utiliza los conceptos básicos de matrices y sus operaciones.

Encuentre los valores de 'a' tales que el sistema generador S no sea una base, y en esos casos, extraiga una base a partir de los vectores de S.

S = {(6  -1  2  a); (-6  -2  -5  -4); (-2  -1  -2  a); (-4  a  -3  -3)}

El sistema generador no será una base cuando los vectores son linealmente dependientes. Como hay 4 vectores, este problema se reduce a encontrar cuando el rango de la matriz cuyas columnas son los vectores dados, es menor que 4.

┌                ┐
│  6  -6  -2  -4 │
│ -1  -2  -1   a │
│  2  -5  -2  -3 │
│  a  -4   a  -3 │
└                ┘

Escalonamos la matriz utilizando transformaciones elementales por fila.

f1 <———> f2
┌                ┐
│ -1  -2  -1   a │
│  6  -6  -2  -4 │
│  2  -5  -2  -3 │
│  a  -4   a  -3 │
└                ┘
f2 <———> f2 + 6•f1
f3 <———> f3 + 2•f1
f4 <———> f4 + a•f1
┌                    ┐
│ -1   -2  -1      a │
│  0  -18  -8   4+6a │
│  0   -9  -4     -7 │
│  0    0   0  -3+a² │
└                    ┘
f2 <———> f3
┌                    ┐
│ -1   -2  -1      a │
│  0   -9  -4     -7 │
│  0  -18  -8  -4+6a │
│  0    0   0  -3+a² │
└                    ┘
f3 <———> f3 - 2•f2
┌                   ┐
│ -1  -2  -1     -2 │
│  0  -9  -4     -7 │
│  0   0   0  10+6a │
│  0   0   0  -3+a² │
└                   ┘

En este punto, podemos ver que si a = -10 / 6 la tercera fila es nula, pero la última no. Lo contrario ocurre cuando a = ±√3. Por lo tanto, cualquiera que sea el valor de 'a', el sistema generador nunca es una base, y la dimensión del subespacio generado es siempre 3.

Para extraer una base del sistema generador, simplemente analice la matriz escalonada y utilice los vectores que se corresponden a las columnas con pivotes, en este caso, la primera, la segunda y la cuarta columna: {(6 -1 2 a); (-6 -2 -5 -4); (-4 a -3 -3)} donde 'a' puede tomar cualquier valor.