El problema de la semana - ¿Pertenece el vector al conjunto generador?

Al igual que la semana pasada, el problema de esta semana también está relacionado con los sistemas generadores, pero esta vez con el concepto de pertenencia de un vector al subespacio generado por un conjunto de vectores. Una vez más se pondrá de manifiesto la importancia de dominar los conceptos básicos de rango de una matriz, transformaciones elementales por fila para escalonar una matriz y sistemas de ecuaciones lineales, para resolver los problemas relacionados con los espacios y subespacios vectoriales.

Hallar λ y μ, reales, para que el vector (-4  -5  λ  μ) pertenezca al subespacio F generado por los vectores (-1  -1  -4  4), (-1  -1  -2  1) y (1  2  2  -2).

Para que (-4  -5  λ  μ) pertenezca al subespacio F es condición necesaria y suficiente que el mismo pueda expresarse como combinación lineal de los generadores de F, es decir, pueden encontrarse a, b y c, números reales, tal que:

(-4  -5  λ  μ) = a(-1  -1  -4  4) + b(-1  -1  -2  1) + c(1  2  2  -2)

Esta combinación lineal genera el siguiente sistema de ecuaciones lineales, donde las incógnitas son a, b y c.

 -a -  b +  c = -4
 -a -  b + 2c = -5
-4a - 2b + 2c =  λ 
 4a +  b - 2c =  μ

Si el sistema de ecuaciones lineales es compatible, entonces el vector podrá expresarse como combinación lineal de los generadores de F, y por ende pertenecerá a F.

Representemos el sistema en su forma matricial, usando la matriz ampliada asociada.

┌                 ┐
│ -1  -1   1 | -4 │
│ -1  -1   2 | -5 │
│ -4  -2   2 |  λ │
│  4   1  -2 |  μ │
└                 ┘

Escalonamos la matriz ampliada utilizando transformaciones elementales por fila.

f2 <———> f2 - f1
f3 <———> f3 - 4•f1
f4 <———> f4 + 4•f1
┌                    ┐
│ -1  -1   1 |    -4 │
│  0   0   1 |    -1 │
│  0   2  -2 |  λ+16 │
│  0  -3   2 |  μ-16 │
└                    ┘
f2 <———> f4
f2 <———> f3
┌                    ┐
│ -1  -1   1 |    -4 │
│  0   2  -2 |  λ+16 │
│  0  -3   2 |  μ-16 │
│  0   0   1 |    -1 │
└                    ┘
f3 <———> 2•f3
┌                     ┐
│ -1  -1   1 |     -4 │
│  0   2  -2 |   λ+16 │
│  0  -6   4 |  2μ-32 │
│  0   0   1 |     -1 │
└                     ┘
f3 <———> f3 + 3•f2
┌                       ┐
│ -1  -1   1 |       -4 │
│  0   2  -2 |     λ+16 │
│  0   0  -2 | 3λ+2μ+16 │
│  0   0   1 |       -1 │
└                       ┘
f3 <———> f4
┌                       ┐
│ -1  -1   1 |       -4 │
│  0   2  -2 |     λ+16 │
│  0   0   1 |       -1 │
│  0   0  -2 | 3λ+2μ+16 │
└                       ┘
f4 <———> f4 + 2•f3
┌                       ┐
│ -1  -1   1 |       -4 │
│  0   2  -2 |     λ+16 │
│  0   0   1 |       -1 │
│  0   0   0 | 3λ+2μ+14 │
└                       ┘

El sistema de ecuaciones lineales es compatible si y solo si, el rango de la matriz del sistema es igual al de la matriz ampliada.

El rango de la matriz del sistema es igual a 3 y para que el rango de la matriz ampliada sea también 3, la expresión 3λ + 2μ + 14 tiene que ser igual a cero.

Esta expresión es igual a cero cuando μ = - 7 - 3λ/2, en cuyo caso el sistema tendrá solución, y el vector pertenecerá al conjunto generador, de manera que la solución al problema es:

λ, μ ∈ R: μ = - 7 - 3λ/2

donde una solución particular es: λ = 2, μ = -10.