¿Cómo utilizar Linear Algebra Decoded para resolver problemas de polinomios?

Cuando hablamos de vectores, la primera idea que nos viene a la mente es relacionar este concepto con los vectores euclidianos, y es muy común que en los libros y exámenes de álgebra lineal, la mayoría de los problemas relacionados con espacios vectoriales y aplicaciones lineales estén asociados a los espacios euclidianos Rⁿ, pero a veces, existen ejercicios que involucran el trabajo con otros conjuntos como matrices, polinomios y funciones, porque, como es bien conocido, estos conjuntos también son Espacios Vectoriales.

Linear Algebra Decoded solo trata con espacios vectoriales euclidianos, pero es muy sencillo trabajar con otros espacios vectoriales como los polinomios. En este artículo analizaremos cómo utilizar Linear Algebra Decoded para resolver problemas que usan el conjunto de los polinomios como espacios vectoriales.

Como se ha demostrado en el álgebra lineal, todo espacio vectorial real n-dimensional es isomorfo a Rⁿ, y como el Espacio Vectorial de los polinomios de grado igual o menor que n (P_n), tiene dimensión igual a n+1, este espacio es isomorfo a Rⁿ⁺¹, lo que significa que estos dos espacios vectoriales comparten similares propiedades respecto a las operaciones fundamentales del álgebra lineal de suma de vectores y multiplicación de un vector por un escalar, y en consecuencia, P_n puede ser remodelado en términos de Rⁿ⁺¹.

Todo polinomio p en P_n se puede escribir como:

p=p(x)=a0 + a1x + a2x2 + ... + anxn

El conjunto de vectores de la base estándar para P_n es {1, x, x², ..., xⁿ}. El vector p se puede describir en términos de las coordenadas respecto a la base estándar: (a₀, a₁, a₂, ..., a_n), que se corresponde con un vector del espacio euclidiano Rⁿ⁺¹. Esto nos lleva a la aplicación lineal T: P_n -> Rⁿ⁺¹:

T(a0 + a1x + a2x2 + ... + anxn) = (a0, a1, a2, ..., an) 

La cual se puede probar fácilmente, que es un isomorfismo.

Entonces, en lugar de trabajar con P_n, podemos traducir los polinomios de P_n a vectores euclidianos de dimensión n+1, resolver el problema, y luego traducir la respuesta al conjunto de los polinomios, de ser necesario, utilizando la inversa de T, la cual es:

T-1((a0, a1, a2, ..., an)) = a0 + a1x + a2x2 + ... + anxn

Veamos un ejemplo práctico y cómo resolverlo utilizando Linear Algebra Decoded.

Encuentre una aplicación lineal que mapee cada polinomio de la base de P₂ {-1 - x, 3x + x², -2 + 2x + x²}, en los respectivos polinomios de P₂ {-4 + 3x + x², -3 + x + 4x², 5 - 5x - 4x²}.

Para resolver este problema usando Linear Algebra Decoded, primero transformaremos el problema a su equivalente en R³, el cual puede reescribirse como:

Encuentre una aplicación lineal que mapee cada vector de la base de R³ {(-1 -1 0), (0 3 1), (-2 2 1)}, en los respectivos vectores de R³ {(-4 3 1), (-3 1 4), (5 -5 -4)}.

Y utilizar el problema adecuado de la lista de problemas de Linear Algebra Decoded, en este caso: Buscar la aplicación lineal dados dos conjuntos de vectores.

Para este problema, el cual también cubre los casos en que los vectores de entrada no son una base, el software verificará si es una base, y evitará realizar otros pasos. Posteriormente calculará la inversa de la matriz de la base (B), que es:

         ┌            ┐
         │  1  -2   6 │
Inv(B) = │  1  -1   4 │
         │ -1   1  -3 │
         └            ┘

Luego, multiplicará la matriz de los vectores de salida U por la inversa de la matriz B.

           ┌               ┐
           │ -12   16  -51 │
U•Inv(B) = │   9  -12   37 │
           │   9  -10   34 │
           └               ┘

Donde la matriz resultante es la matriz de la aplicación lineal:

f(x, y, z) = (-12x+16y-51z, 9x-12y+37z, 9x-10y+34z)

Necesitamos traducir el resultado a una aplicación lineal de P₂ a P₂, lo cual se puede hacer fácilmente:

f(a0+a1x+a2x2)=(-12a0+16a1-51a2)+(9a0-12a1+37a2)x+(9a0-10a1+34a2)x2

Como puedes ver, es muy fácil utilizar Linear Algebra Decoded para resolver problemas de espacios vectoriales y aplicaciones lineales que involucran polinomios en lugar de vectores euclidianos. Si tienes alguna pregunta, por favor, utiliza los comentarios para preguntarnos, y gustosamente te responderemos.