El problema de la semana - Coordenadas y matriz de cambio de base

Una base de un espacio vectorial V de dimensión n es un conjunto de n vectores con la propiedad de que cada vector del espacio se puede expresar, de manera única, como combinación lineal de los vectores de la base. Con el uso de las bases se introduce el concepto de coordenadas, que son los coeficientes de la combinación lineal cuando se expresa un vector en términos de los vectores de la base, y siempre se especifican en relación a una base ordenada.

Un concepto importante relacionado con las bases y las coordenadas es la matriz de cambio de base o matriz de transición. Cuando hay dos bases ordenadas para un mismo espacio vectorial, la matriz de cambio de base de la primera base a la segunda, es la matriz que nos permite obtener el vector de coordenadas relativo a la segunda base utilizando solo el vector de coordenadas relativo a la primera, sin necesidad de conocer las bases.

Comprender las matrices de cambio de base te ayudará a comprender algunos problemas relacionados con la diagonalización y la descomposición en valores singulares, entre otros conceptos importantes que se utilizan ampliamente en muchos campos de las matemáticas, la física y la ingeniería.

Para resolver el problema de esta semana, deberás utilizar los conceptos de vector coordenado y matriz de cambio de base.

Dada la matriz de cambio de base C, de la base A a la base B, ambas bases de R².

┌       ┐
│ 6  -5 │
│ 7  -6 │
└       ┘

y conociendo que los vectores coordenados relativos a la base A de los vectores

v₁ = (1, 5) y v₂ = (2, 4) son [2, 1] y [-2, -4], respectivamente.

¿Encuentre los vectores de las bases A y B?

El vector coordenado de un vector, relativo a una base, está compuesto por los coeficientes obtenidos al expresar el vector como combinación lineal de los vectores de la base.

Sean (a, b) y (c, d) los vectores ordenados de la base A, entonces, de acuerdo a los vectores coordenados de v₁ y v₂:

(1, 5) = 2(a, b) + 1(c, d)

y

(2, 4) = -2(a, b) + -4(c, d)

lo cual conlleva a las siguientes ecuaciones:

2a + c = 1
2b + d = 5
-2a - 4c = 2
-2b - 4d = 4

La solución de este sistema de ecuaciones lineales es:

a = 1
b = 4
c = -1
d = -3

Por lo tanto, la base A está compuesta por los vectores (1 4) y (-1 -3).

Como la matriz de cambio de base de la base A a la base B puede ser calculada utilizando las matrices de las bases A y B (La matriz de una base es la matriz cuyas columnas son los vectores de la base. Es una forma de llamarle a la matriz de cambio de base de la base en cuestión a la base canónica) como:

C = B-1A

Entonces, para obtener los vectores de la base B necesitamos despejar B en la fórmula, multiplicando ambos términos a la izquierda por B y a la derecha por C^-1:

B = AC-1

La matriz C, en este problema, es una matriz involutiva (es su propia inversa), por lo que:

B = AC

resultando en:

┌        ┐
│ -1   1 │
│  3  -2 │
└        ┘

Entonces, los vectores de B son (-1 3) y (1 -2).