El problema de la semana - Bases ortogonales

Muchos conceptos del Álgebra Lineal han surgido de problemas geométricos en R² y R³, y luego se han generalizado a espacios de dimensiones superiores que no tienen representación visual. Algunos de los conceptos geométricos más utilizados son la longitud, la distancia y la perpendicularidad, los cuales son bien conocidos para R² y R³, y gracias al álgebra lineal se han extendido a Rⁿ. Estos conceptos proporcionan poderosas herramientas geométricas para resolver muchos problemas, incluidos los problemas de mínimos cuadrados.

Estas tres nociones se definen en términos del producto interno de dos vectores, que también es el concepto clave para tratar las bases ortogonales, el tema del problema de esta semana. Las bases ortogonales, y particularmente las bases ortonormales, son muy útiles cuando se trabaja con proyecciones sobre subespacios, entre otros problemas. Algunas de las ventajas de usar este tipo de bases se basa en el hecho de que las coordenadas de un vector en relación con una base ortonormal se pueden calcular mediante el uso de una fórmula explícita y fácil, donde cada coordenada solo involucra el vector asociado de la base.

Encuentre los valores de x, y, z, si existen, tal que el conjunto de vectores A es una base orthogonal de R³.

A = {(x, 2, 2); (1, y, -1); (-4, -1, z)}

Una base de un espacio vectorial es una base ortogonal si cada par de vectores de la base son ortogonales, es decir, su producto interno es 0. Se puede demostrar fácilmente que un conjunto ortogonal siempre es linealmente independiente, por lo que, como el conjunto A tiene 3 vectores (la dimensión del espacio vectorial), es suficiente demostrar que los vectores son ortogonales para demostrar que también son una base de R³.

Para que el conjunto de vectores sea un conjunto ortogonal, cada par de vectores tienen que ser ortogonales:

<(x, 2, 2),(1, y, -1)> = x + 2y - 2 = 0
<(x, 2, 2),(-4, -1, z)> = -4x - 2 + 2y = 0
<(1, y, -1),(-4, -1, z)> = -4 - y - z = 0

Entonces, para encontrar los valores de x, y, z, tales que el conjunto A sea una base ortogonal, necesitamos resolver el sistema de ecuaciones lineales:

  x + 2y = 2
-4x + 2z = 2
 -y -  z = 4

cuya matriz ampliada es:

┌                 ┐
│  1   2   0 |  2 │
│ -4   0   2 |  2 │
│  0  -1  -1 |  4 │
└                 ┘

Escalonamos la matriz ampliada utilizando transformaciones elementales por fila.

r2 <———> r2 + 4•r1
┌                 ┐
│ 1   2   0 |   2 │
│ 0   8   2 |  10 │
│ 0  -1  -1 |   4 │
└                 ┘
r2 <———> r3
┌                 ┐
│ 1   2   0 |   2 │
│ 0  -1  -1 |   4 │
│ 0   8   2 |  10 │
└                 ┘
r3 <———> r3 + 8•r2
┌                 ┐
│ 1   2   0 |   2 │
│ 0  -1  -1 |   4 │
│ 0   0  -6 |  42 │
└                 ┘

Traducimos la matriz escalonada al sistema de ecuaciones lineales asociado.

x+2y = 2
-y-z = 4
-6z = 42

Realizamos el proceso de sustitución hacia atrás. Comenzando con la última ecuación, despejamos la variable y la reemplazamos en la ecuación anterior, realizando este proceso hasta la primera ecuación.

-6z = 42
z = -42/6
z = -7

-y-z = 4
y = -4-z
y = -4-(-7)
y = 3

x+2y = 2
x = 2-2y
x = 2-2•(3)
x = -4

De manera que la solución al problema es:

x = -4
y = 3
z = -7