El problema de la semana - Núcleo de una transformación lineal

Las transformaciones lineales son uno de los conceptos claves del Álgebra Lineal, y se consideran la parte más útil de esta rama de las matemáticas. En el artículo "El álgebra lineal y el procesamiento digital de imágenes. Parte III. Transformaciones afines.", puede encontrar ejemplos del uso de las transformaciones lineales, las cuales pueden definirse como una aplicación entre dos espacios vectoriales, que preserva la linealidad.

Hay algunos conceptos importantes que los estudiantes deben dominar para resolver problemas sobre transformaciones lineales, como el núcleo, la imagen, la nulidad y el rango de una transformación lineal. Como las transformaciones lineales se pueden representar usando matrices, la mayoría de los problemas relacionados con las transformaciones lineales se pueden resolver utilizando los mismos procedimientos que usamos para encontrar la solución de muchos de los problemas básicos de las matrices y de los sistemas de ecuaciones lineales.

Este problema de la semana tratará sobre el núcleo (el conjunto de vectores en el espacio vectorial de partida que se transforma en el vector cero) y la nulidad de una transformación lineal, y su solución solo requiere saber cómo trabajar con matrices y hacer operaciones elementales por fila.

Sea f (x, y, z) = (-3x + 2y + 3z; x - αy + z; -4x + 4y + αz) una transformación lineal de R³ a R³.

Encuentre α para que la nulidad (dimensión del núcleo) de f sea igual a 1.

El núcleo de una aplicación lineal es el conjunto de todos los vectores del espacio de entrada que se transforman por la aplicación lineal en el vector nulo del espacio de salida.

Para que la dimensión del núcleo sea igual a 1, el sistema de ecuaciones lineales resultante de igualar a cero las componentes de la fórmula de la transformación lineal, tiene que tener grado de libertad igual a 1, que es equivalente a que la matriz del sistema tenga rango igual a 2.

El sistema de ecuaciones lineales es:

-3x + 2y + 3z = 0
  x - αy +  z = 0
-4x + 4y + αz = 0

Y su forma matricial es:

┌                ┐
│ -3   2  3 |  0 │
│  1  -α  1 |  0 │
│ -4   4  α |  0 │
└                ┘

Escalonamos la matriz ampliada utilizando transformaciones elementales por filas.

r2 <———> 3•r2
r3 <———> -3•r3
┌                   ┐
│ -3    2    3 |  0 │
│  3  -3α    3 |  0 │
│ 12  -12  -3α |  0 │
└                   ┘
r2 <———> r2 + r1
r3 <———> r3 + 4•r1
┌                      ┐
│ -3     2      3 |  0 │
│  0  2-3α      6 |  0 │
│  0    -4  12-3α |  0 │
└                      ┘
r2 <———> r3
┌                      ┐
│ -3     2      3 |  0 │
│  0    -4  12-3α |  0 │
│  0  2-3α      6 |  0 │
└                      ┘
r3 <———> 4•r3
┌                       ┐
│ -3      2      3 |  0 │
│  0     -4  12-3α |  0 │
│  0  8-12α     24 |  0 │
└                       ┘
r3 <———> r3 + (2-3α)•r2
┌                                 ┐
│ -3   2                   3 |  0 │
│  0  -4               12-3α |  0 │
│  0   0  24 + (12-3α)(2-3α) |  0 │
└                                 ┘

Para que la matriz tenga rango igual a 2, el término 24 + (12-3α)(2-3α) tiene que ser igual a 0. Encontremos entonces los valores de α que anulan la ecuación.

24 + (12-3α)(2-3α) = 0
24 + 24 - 36α - 6α + 9α2 = 0
9α2 - 42α + 48 = 0

dividiendo la ecuación por 3

3α2 - 14α + 16 = 0
(3α - 8)(α - 2) = 0

de manera que

3α - 8 = 0
α = 8/3

α - 2 = 0
α = 2

La respuesta es: α = 8/3 o α = 2