El problema de la semana - El espacio columna de una matriz

En el Álgebra Lineal, los subespacios más importantes están relacionados con las matrices. Uno de estos subespacios es el Espacio Columna, que consiste en todas las combinaciones lineales de las columnas de una matriz. Este subespacio, el generado por las columnas de una matriz, es crucial en el Álgebra Lineal y está relacionado con 4 de los temas más importantes: Matrices, Sistema de Ecuaciones Lineales, Espacios Vectoriales y Transformaciones Lineales.

Dos resultados interesantes que vinculan estos temas son:

• El sistema de ecuaciones lineales asociado a la matriz A: Ax = b, tiene solución si y solo si b está en el espacio columna de A, lo que significa que b puede expresarse como combinación lineal de las columnas de A.

• El espacio columna de una matriz es la imagen de la transformación lineal asociada a dicha matriz, y como el rango de una matriz coincide con la dimensión de la imagen, podemos concluir que la dimensión del espacio columna de A es igual al rango de A.

Este problema de la semana trata sobre este subespacio, pero también debes aplicar el concepto de matriz simétrica.

Construya, si es posible, una matriz A, tal que A sea simétrica, y su espacio columna esté generado por los vectores (1 -2 5 0) y (-2 0 2 -4).

 

Como la matriz es simétrica y los vectores pertenecen a R⁴, A es una matriz de 4x4 y todas las columnas de la matriz deben ser una combinación lineal de los vectores (1 -2 5 0) y (-2 0 2 -4).

Aunque para obtener todas las posibles matrices, sería necesario expresar las dos primeras columnas como combinación lineal de los dos vectores dados, supondremos, como una simplificación del problema, que las dos primeras columnas coinciden con los vectores dados, basado en el hecho de que el segundo componente del primer vector es igual al primer componente del segundo vector.

Como la matriz es simétrica, las dos primeras filas de la matriz deben coincidir con los vectores dados, y a₃₄ debe ser igual a a₄₃.

┌                ┐
│  1  -2   5   0 │
│ -2   0   2  -4 │
│  5   2   x   w │
│  0  -4   y   z │
└                ┘

El siguiente paso es determinar si existen x, y, w, z, de modo que, al expresar las dos últimas columnas como combinación lineal de las dos primeras columnas, y = w.

Podemos usar las dos primeras filas para obtener los coeficientes cuando expresamos la tercera y cuarta columna como combinación lineal de las dos primeras.

Para la tercera columna, la matriz ampliada del sistema de ecuaciones lineales asociado a la combinación lineal es:

┌             ┐
│  1  -2 |  5 │
│ -2   0 |  2 │
└             ┘

que se transforma en la siguiente matriz escalonada:

r2 <———> r2 + 2•r1
┌             ┐
│ 1  -2 |   5 │
│ 0  -4 |  12 │
└             ┘

y la solución es

 α = -1
 β = -3

Lo que significa que la tercera columna se puede expresar como una combinación lineal de la primera y la segunda columna usando los coeficientes -1 y -3 respectivamente.

Usando estos coeficientes, podemos calcular el valor de x, y, usando la tercera y cuarta fila.

(-1)5+(-3)2    = x = -11
(-1)0+(-3)(-4) = y =  12

De la misma manera, podemos calcular los coeficientes para la cuarta columna.

┌             ┐
│  1  -2 |  0 │
│ -2   0 | -4 │
└             ┘

r2 <———> r2 + 2•r1
┌             ┐
│ 1  -2 |   0 │
│ 0  -4 |  -4 │
└             ┘

donde

 α = 2
 β = 1

Y nuevamente, usar los coeficientes para calcular el valor de w, z.

(2)5 + 1(2)  = w = 12
(2)0 + 1(-4) = z = -4

Como y = w = 12, es posible construir la matriz solicitada:

    ┌                 ┐
    │  1  -2    5   0 │
    │ -2   0    2  -4 │
A = │  5   2  -11  12 │
    │  0  -4   12  -4 │
    └                 ┘