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Muchos conceptos del Álgebra Lineal han surgido de problemas geométricos y luego se han generalizado a espacios de dimensiones superiores que no tienen representación visual. Algunos de los conceptos geométricos más utilizados son la longitud, la distancia y la perpendicularidad, los cuales proporcionan poderosas herramientas geométricas para resolver muchos problemas, incluidos los problemas de mínimos cuadrados.

Estas tres nociones se definen en términos del producto interno de dos vectores, que también es el concepto clave para tratar las bases ortogonales, el tema del problema de esta semana. Las bases ortogonales, y particularmente las bases ortonormales, son muy útiles cuando se trabaja con proyecciones sobre subespacios, entre otros problemas.

Una factorización LU de una matriz A es el producto de una matriz triangular inferior L y una matriz triangular superior U cuyo resultado es igual a A. Una de las motivaciones para una factorización LU es el hecho de que esta factorización puede usarse como un método alternativo para resolver sistemas de ecuaciones lineales, donde una vez que la matriz del sistema se ha factorizado, la solución del sistema se puede obtener resolviendo dos sistemas sencillos, uno por el método de sustitución hacia adelante y el otro por el método de sustitución hacia atrás. La factorización LU es otro enfoque diseñado para explotar sistemas triangulares.

Aunque es muy común que se le pida encontrar una factorización LU para una matriz cuadrada, los conceptos también se extienden a matrices rectangulares. En este problema de la semana, debes tratar con la factorización LU para una matriz rectangular.

Un concepto importante relacionado con las bases y las coordenadas es la matriz de cambio de base o matriz de transición. Cuando hay dos bases ordenadas para un mismo espacio vectorial, la matriz de cambio de base de la primera base a la segunda, es la matriz que nos permite obtener el vector de coordenadas relativo a la segunda base utilizando solo el vector de coordenadas relativo a la primera, sin necesidad de conocer las bases.

Comprender las matrices de cambio de base te ayudará a comprender algunos problemas relacionados con la diagonalización y la descomposición en valores singulares, entre otros conceptos importantes que se utilizan ampliamente en muchos campos de las matemáticas, la física y la ingeniería.

Para resolver el problema de esta semana, deberás utilizar los conceptos de vector coordenado y matriz de cambio de base.

Al igual que la semana pasada, el problema de esta semana también está relacionado con los sistemas generadores, pero esta vez con el concepto de pertenencia de un vector al subespacio generado por un conjunto de vectores. Una vez más se pondrá de manifiesto la importancia de dominar los conceptos básicos de rango de una matriz, transformaciones elementales por fila para escalonar una matriz y sistemas de ecuaciones lineales, para resolver los problemas relacionados con los espacios y subespacios vectoriales.

Los espacios vectoriales son uno de los temas claves del álgebra lineal, y su teoría tiene gran aplicación en las matemáticas, la ingeniería, la física, la química, la biología, las ciencias sociales y muchas otras áreas. La teoría consiste, básicamente, en generalizar las ideas sobre los vectores geométricos del cálculo, a vectores de cualquier tamaño; pero proporciona una manera abstracta y sin necesidad de usar ejes de coordenadas, para tratar objetos geométricos y físicos, como los tensores.

El problema de esta semana está relacionado con los sistemas generadores y las bases, dos conceptos esenciales de los espacios vectoriales que debes dominar. La solución, como es habitual en la mayoría de los problemas de álgebra lineal, utiliza los conceptos básicos de matrices y sus operaciones.