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Una de las factorizaciones matriciales más utilizadas es la diagonalización de una matriz, en la cual se descompone una matriz como el producto de tres matrices donde la matriz intermedia es diagonal y de las dos restantes, una es la inversa de la otra, obtenidas como parte del proceso de calcular los vectores y valores propios. La diagonalización de matrices juega un papel clave en la visión artificial y el aprendizaje automático en general. Otro ejemplo importante del uso de esta factorización está relacionado con el algoritmo que utiliza Google para clasificar las páginas, el cual se basa en los valores y vectores propios.

Este problema de la semana, aunque no pide directamente que se diagonalice una matriz, está relacionado con el concepto de valores propios, y para resolverlo necesitará conocer los fundamentos de los procedimientos que se utilizan para calcularlos.

Las bases ortogonales tienen algunas ventajas prácticas y son muy útiles cuando se tratan problemas de proyecciones en subespacios. Estas bases se definen en espacios equipados con un producto interno, también llamado producto punto, y por definición, una base se denomina ortogonal si cada par de vectores de la base son ortogonales, es decir, su producto interno es 0. Cuando la longitud de cada vector es 1 (los vectores están normalizados), la base se denomina base ortonormal.

En un espacio con producto interno, siempre es posible obtener una base ortonormal a partir de cualquier base, utilizando el algoritmo de Gram-Schmidt. Para resolver este problema de la semana, tendrás que demostrar que dominas el proceso de Gram-Schmidt y el cálculo de la matriz de cambio de base.

En el Álgebra Lineal, los subespacios más importantes están relacionados con las matrices. Uno de estos subespacios es el Espacio Columna, que consiste en todas las combinaciones lineales de las columnas de una matriz. Este subespacio, el generado por las columnas de una matriz, es crucial en el Álgebra Lineal y está relacionado con 4 de los temas más importantes: Matrices, Sistema de Ecuaciones Lineales, Espacios Vectoriales y Transformaciones Lineales.

Este problema de la semana trata sobre este subespacio, pero también debes aplicar el concepto de matriz simétrica.

Las transformaciones lineales son uno de los conceptos claves del Álgebra Lineal, y se consideran la parte más útil de esta rama de las matemáticas. Una transformación lineal es una aplicación entre dos espacios vectoriales, que preserva la linealidad.

Hay algunos conceptos importantes que los estudiantes deben dominar para resolver problemas sobre transformaciones lineales, como el núcleo, la imagen, la nulidad y el rango de una transformación lineal. Este problema de la semana tratará sobre el kernel (el conjunto de vectores en el espacio vectorial de partida que se transforma en el vector cero) y la nulidad de una transformación lineal, y su solución solo requiere saber cómo trabajar con matrices y hacer operaciones elementales por fila.

Muchos conceptos del Álgebra Lineal han surgido de problemas geométricos y luego se han generalizado a espacios de dimensiones superiores que no tienen representación visual. Algunos de los conceptos geométricos más utilizados son la longitud, la distancia y la perpendicularidad, los cuales proporcionan poderosas herramientas geométricas para resolver muchos problemas, incluidos los problemas de mínimos cuadrados.

Estas tres nociones se definen en términos del producto interno de dos vectores, que también es el concepto clave para tratar las bases ortogonales, el tema del problema de esta semana. Las bases ortogonales, y particularmente las bases ortonormales, son muy útiles cuando se trabaja con proyecciones sobre subespacios, entre otros problemas.