El problema de la semana - Una pregunta sencilla sobre valores propios

Existen múltiples formas de descomponer o factorizar una matriz en el Álgebra Lineal, algunas de ellas ya se han tratado en problemas anteriores, como la factorización LU o la factorización de rango, que se realiza implícitamente en el proceso de escalonamiento de una matriz. Una de las factorizaciones matriciales más utilizadas es la diagonalización de una matriz, en la cual se descompone una matriz como el producto de tres matrices donde la matriz intermedia es diagonal y de las dos restantes, una es la inversa de la otra, obtenidas como parte del proceso de calcular los vectores y valores propios.

La diagonalización de matrices juega un papel clave en la visión artificial y el aprendizaje automático en general. Algunos ejemplos bien conocidos son el ACP (Análisis de Componentes Principales) para la reducción de la dimensionalidad en el reconocimiento de caras. Otro ejemplo importante del uso de esta factorización está relacionado con el algoritmo que utiliza Google para clasificar las páginas, el cual se basa en los valores y vectores propios.

Desde la perspectiva de las transformaciones lineales, esta factorización simplemente encuentra los vectores cuyas imágenes mantienen la misma dirección (vectores propios), y sus factores de escala (valores propios).

Este problema de la semana, aunque no pide directamente que se diagonalice una matriz, está relacionado con el concepto de valores propios, y para resolverlo necesitará conocer los fundamentos de los procedimientos que se utilizan para calcularlos.

Encuentre todos los valores de x para los cuales A tiene un valor propio igual a -3.

    ┌            ┐    
    │  1  -6   x │
A = │ 2x  -9   2 │
    │ -3   3  -4 │
    └            ┘

La matriz A tendrá a -3 como valor propio si y solo si det(A + 3I) = 0.

Por lo tanto, para encontrar los valores de x, se necesita resolver esa ecuación.

│ 1+3    -6     x │
│  2x  -9+3     2 │ = 0
│  -3     3  -4+3 │


│  4  -6   x │
│ 2x  -6   2 │ = 24 + 36 + 6x2 - 18x - 24 - 12x = 0
│ -3   3  -1 │

6x2 - 30x + 36 = 0

x2 - 5x + 6 = 0

(x - 2)(x - 3) = 0

x = 2 or x = 3

De aquí se obtiene que A tiene a -3 como valor propio si y solo x es igual a 2 o 3.