El problema de la semana - El proceso de Gram-Schmidt

Como se expresó en una pregunta anterior, las bases ortogonales tienen algunas ventajas prácticas y son muy útiles cuando se tratan problemas de proyecciones en subespacios. Estas bases se definen en espacios equipados con un producto interno, también llamado producto punto, y por definición, una base se denomina ortogonal si cada par de vectores de la base son ortogonales, es decir, su producto interno es 0. Cuando la longitud de cada vector es 1 (los vectores están normalizados), la base se denomina base ortonormal.

En un espacio con producto interno, siempre es posible obtener una base ortonormal a partir de cualquier base, utilizando el algoritmo de Gram-Schmidt. Este proceso es un método para ortonormalizar un conjunto de vectores, más comúnmente los espacios Euclidianos Rⁿ equipados con el producto interno estándar, y se puede garantizar que si el conjunto de vectores es una base, al final del proceso, el conjunto resultante seguirá siendo una base.

Para resolver este problema de la semana, tendrás que demostrar que dominas el proceso de Gram-Schmidt. También debes calcular la matriz de cambio de base, un concepto abordado en otra pregunta.

Sea A = {(0 2 0), (4 -1 -3), (3 2 4)} una base de R³. ¿Encuentre la matriz de cambio de base de la base A a la base ortonormal obtenida al ortogonalizar A utilizando el proceso de Gram-Schmidt?

El primer paso es utilizar el proceso de Gram-Schmidt para obtener una base ortogonal a partir de la base A.

Llamemos V = {v₁,v₂,v₃} a esta base:

v1 = a1 = (0 2 0)

          <a2,v1>
v2 = a2 - ——————— • v1
           ‖v1‖²  

<a2,v1> = <(4 -1 -3),(0 2 0)> = -2
‖v1‖² = 4

v2 = (4 -1 -3) - (-2)•(0 2 0)/4
v2 = (4 -1 -3) - (0 -1 0)
v2 = (4 0 -3)

          <a3,v1>        <a3,v2> 
v3 = a3 - ——————— • v1 - ——————— • v2
           ‖v1‖²          ‖v2‖²      

<a3,v1> = <(3 2 4),(0 2 0)> = 4          
‖v1‖² = 4

<a3,v2> = <(3 2 4),(4 0 -3)> = 0
‖v2‖² = 25

v3 = (3 2 4) - 4•(0 2 0)/4 - 0•(4 0 -3)/25
v3 = (3 2 4) - (0 2 0)
v3 = (3 0 4)

Luego, necesitamos normalizar la base ortogonal, dividiendo cada vector por su norma.

‖v1‖ = 2
‖v2‖ = 5
‖v3‖ = 5

La base ortonormal B, obtenida después de normalizar todos los vectores de la base V es:

B = {(0 1 0), (4/5 0 -3/5), (3/5 0 4/5)}

El paso final es encontrar la matriz de cambio de base de A a B.

Este paso puede ser resuelto usando diferentes métodos, aquí emplearemos la vía matricial. La matriz de cambio de base C[A->B] de la base A a la base B, se puede calcular multiplicando la inversa de la matriz de la base B por la matriz de la base A.

La matriz de la base B (matriz de cambio de base de la base B a la base canónica N) es:

          ┌              ┐
          │ 0   4/5  3/5 │
C[B->N] = │ 1     0    0 │
          │ 0  -3/5  4/5 │
          └              ┘

Calculemos su inversa:

│ 0   4/5  3/5 │
│ 1     0    0 │ =  -1
│ 0  -3/5  4/5 │

               ┌                ┐
               │  0  -4/5  -3/5 │
Cof(C[B->N]) = │ -1     0     0 │
               │  0   3/5  -4/5 │
               └                ┘
               ┌                ┐
               │    0  -1     0 │
Adj(C[B->N]) = │ -4/5   0   3/5 │
               │ -3/5   0  -4/5 │
               └                ┘
                         ┌              ┐
                         │   0  1     0 │
Inv(C[B->N]) = C[N->B] = │ 4/5  0  -3/5 │
                         │ 3/5  0   4/5 │
                         └              ┘

La matriz de la base A (matriz de cambio de base de la base A a la base canónica N) es:

          ┌          ┐
          │ 0   4  3 │
C[A->N] = │ 2  -1  2 │
          │ 0  -3  4 │
          └          ┘

Finalmente, multipliquemos las matrices C[N->B] y C[A->N].

C[A->B]11 = 0•0 + 1•2 + 0•0 = 2
C[A->B]12 = 0•4 + 1•(-1) + 0•(-3) = -1
C[A->B]13 = 0•3 + 1•2 + 0•4 = 2

C[A->B]21 = 4/5•0 + 0•2 + (-3/5)•0 = 0
C[A->B]22 = 4/5•4 + 0•(-1) + (-3/5)•(-3) = 5
C[A->B]23 = 4/5•3 + 0•2 + (-3/5)•4 = 0

C[A->B]31 = 3/5•0 + 0•2 + 4/5•0 = 0
C[A->B]32 = 3/5•4 + 0•(-1) + 4/5•(-3) = 0
C[A->B]33 = 3/5•3 + 0•2 + 4/5•4 = 5
          ┌          ┐
          │ 2  -1  2 │
C[A->B] = │ 0   5  0 │
          │ 0   0  5 │
          └          ┘

La cual es la respuesta final.